rc充放电(例1)

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今天开始学习面包板电子制作130例，然后顺便把电路基础知识巩固。

例1

电阻规则表

电阻 颜色
68kΩ 蓝灰黑红
47kΩ 黄紫黑红
20kΩ 红黑黑红
10kΩ 棕黑黑红
4.7kΩ 黄紫黑棕
3.3kΩ 橙橙黑棕
2.2kΩ 红红黑棕
2kΩ 红黑黑棕
1kΩ 棕黑黑棕
470Ω 黄紫黑黑

元件组成

  • 470Ω * 2
  • 470μF * 2

电路语义

初始状态：S1和S2都断开。 闭合S1，R1和C1和C2的并联C=2*470串联，对两个电容进行充电，LED1亮2s左右。 断开S1，闭合S2，两个电容存储的电荷走R2这个回路放电，LED2亮2s左右。

RC一阶微分方程

在RC电路中，电容器和电阻器串联，电压源提供电压。电路的微分方程可以通过基尔霍夫电压定律（KVL）推导得出。

假设电压源的电压为，电容器两端的电压为，电阻两端的电压为，电容器的电荷为，电流为。

根据KVL：

电阻两端的电压可以表示为：

电容器两端的电压可以表示为：

电流是电荷的变化率：

将和代入KVL方程：

这就是RC电路的微分方程。如果电压源是直流电压，则方程变为：

这个方程描述了电容器在RC电路中的充电和放电过程。

求解该方程

首先，将方程改写为标准形式：

这是一个一阶线性微分方程。我们可以使用积分因子法来求解。

  1. 找到积分因子：

积分因子为：

  1. 将方程乘以积分因子：

这可以改写为：

  1. 对两边积分：

左边积分结果为：

右边积分结果为：

其中是积分常数。

  1. 整理方程：

两边同时除以：

  1. 确定常数：

假设初始条件，代入方程：

所以：

  1. 最终解：

这就是RC电路中电容器电荷随时间变化的解。

求解

我们已经得到了电容器电荷的解：

电容器两端的电压可以表示为：

将代入：

简化后得到：

这就是电容器两端电压随时间变化的解。

积分因子法

电容并联

  1. 基本原理：
    • 当多个电容并联时，它们两端的电压相同，但每个电容存储的电荷量可以不同。
    • 电荷量与电容和电压的关系为。
  2. 总电荷量：
    • 设并联的电容分别为。
    • 每个电容存储的电荷量分别为。
    • 总电荷量为各个电容电荷量之和：
  3. 电荷量与电容的关系：
    • 对于每个电容，电荷量可以表示为，其中是并联电容两端的电压。
    • 因此，总电荷量可以表示为：
  4. 提取公因子：
    • 将上式中的提取出来：
  5. 等效电容：
    • 设并联后的等效电容为，则总电荷量也可以表示为。
    • 因此：
  6. 消去电压：
    • 由于不为零，可以消去：

所以，电容并联的公式为：

电容电感串并联

RC时间常数

  • 每个RC电路的充电时间常数为。
  • 通常认为电容在后基本充满（电压达到电源电压的99.3%）。

根据上述元件一个R一个C，计算τ=0.2209s 再乘上5(5个时间常数)和2(并联电容乘2)，所以在2s左右。

实验

实验对LED1的充电比较连续，对LED2的充电有点断断续续。可能是由于连线不太规则导致，不用一些夹子和较多的开关连线，会比较平滑。