暑期数学课第一课：变量与函数——从欧姆定律开始

第一课：变量与函数——从欧姆定律开始

（适合三年级以上，结合电路实验）

📌 课程目标

1. 理解“变量”：在电路中，电压（V）、电流（I）、电阻（R）都是可以变化的量，它们就是变量。
   
2. 理解“函数”：欧姆定律（V = I × R）就是一个函数，它告诉我们变量之间的关系。
   
3. 动手实验：用真实的电路测量、观察变量如何变化，并用万用表记录数据，绘制函数曲线。

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🔧 实验材料

• 电路元件：电池（9V 或 2节AA）、电阻（1kΩ、10kΩ）、电位器（可调电阻）、LED、面包板（可选）
  
• 测量工具：万用表（测电压、电流、电阻）
  
• 其他：导线、纸笔（记录数据）、坐标纸（画函数图）

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🚀 实验步骤

1. 认识变量：电压、电流、电阻

🔹 电压（V）：电池的“推力”，单位是伏特（V）。
🔹 电流（I）：电子的“流动”，单位是安培（A），实验中常用毫安（mA）。
🔹 电阻（R）：阻碍电流的“关卡”，单位是欧姆（Ω）。

小实验：用万用表测量

• 测电池电压（V）：万用表拨到 DCV 20V，红表笔接电池+，黑表笔接电池-。
  
• 测电阻（R）：万用表拨到 Ω（欧姆档），直接测电阻的阻值。
  
• 测电流（I）：万用表拨到 DCA 20mA，串联进电路（后面实验会做）。

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2. 欧姆定律实验：V = I × R

电路搭建：

电池 (+) —— 电位器（可调 R） —— 固定电阻（保护 LED） —— LED —— 电池 (-)

实验步骤：
1. 调节电位器（改变 R），用万用表测量当前的电阻值（R）。
2. 串联万用表（测电流 I）：
- 把万用表拨到 DCA 20mA，断开 LED 和电阻的连接，把表笔串联进去（红表笔接电阻，黑表笔接 LED）。
3. 记录数据：
- 调节电位器 5 次，每次记录 R（Ω） 和 I（mA）。

实验次数	电阻 R (Ω)	电流 I (mA)	计算 V = I × R
1	1000	9.0	9.0 × 1000 = 9V
2	2000	4.5	4.5 × 2000 = 9V
3	3000	3.0	3.0 × 3000 = 9V
4	4000	2.25	2.25 × 4000 = 9V
5	5000	1.8	1.8 × 5000 = 9V

观察规律：
✅ 电阻 R 变大，电流 I 变小（反比关系）。
✅ V = I × R 始终≈电池电压（9V），验证欧姆定律！

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3. 绘制函数曲线：I = V / R

在坐标纸上：
- X 轴：电阻 R（Ω）
- Y 轴：电流 I（mA）
- 画点：把实验数据标在图上，连成曲线。

结论：
- 这条曲线就是 函数 I = V / R 的图形！
- 电阻 R 是输入变量，电流 I 是输出变量，欧姆定律就是它们之间的关系！

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4. 计算机思维连接：变量 & 函数

🔹 变量就像“盒子”：
- 在计算机里，R、I、V 都是变量，可以存储不同的值。
- 比如：

R = 1000  # 电阻是 1000Ω
V = 9     # 电池是 9V
I = V / R # 计算电流 I
print(I)  # 输出 0.009 A（即 9mA）

🔹 函数就像“魔法机器”：
- 欧姆定律就是一个函数：

def calculate_current(V, R):
    return V / R

- 输入 V 和 R，输出 I！

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🎯 课后挑战

1. 改变电池电压（V）：用 2 节 AA 电池（3V）再做实验，看看 I 和 R 的关系是否还是 I = V / R？
   
2. 用 Scratch 模拟：在 Scratch 里做一个“欧姆定律计算器”，输入 V 和 R，自动计算 I！

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📝 总结

✅ 变量：电路中可以变化的量（V、I、R）。
✅ 函数：变量之间的关系（欧姆定律 V = I × R）。
✅ 实验：用真实电路测量数据，画出函数曲线！
✅ 计算机连接：变量存储数据，函数计算关系！

下一课：电容充放电——时间变量和指数函数！ 🚀

课程回顾

mathematica代码

data = {{3.0, 3.0, 1}, {3.0, 1.5, 2}, {3.0, 1.3, 2.2}, {3.7, 1.7, 
    2.2}, {3.0, 0.8, 3.3}, {3.8, 1.1, 3.3}, {4.5, 1.3, 3.3}, {3.5, 
    0.7, 4.7}, {4.8, 1, 4.7}, {4.8, 0.9, 5.1}, {4.3, 0.8, 5.1}};

(*提取电压=3.0V的数据并按电阻排序*)
constantVoltageData = Select[data, #[[1]] == 3.0 &];
sortedData = SortBy[constantVoltageData, #[[3]] &];

ListLinePlot[sortedData[[All, {3, 2}]], PlotMarkers -> Automatic, 
 Frame -> True, FrameLabel -> {"电阻 (k\[CapitalOmega])", "电流 (mA)"}, 
 PlotLabel -> "电压恒定(3.0V): 电阻\[UpArrow], 电流\[DownArrow]", 
 FrameStyle -> Directive[Black, 12], GridLines -> Automatic, 
 ImageSize -> 400]
(*按电阻值分组*)groupedData = GatherBy[data, #[[3]] &];
(*只保留有多个数据点的组*)
multiPointGroups = Select[groupedData, Length[#] > 1 &];

ListLinePlot[#[[All, {1, 2}]] & /@ multiPointGroups, 
 PlotMarkers -> Automatic, Frame -> True, 
 FrameLabel -> {"电压 (V)", "电流 (mA)"}, 
 PlotLabel -> "电阻恒定: 电压\[UpArrow], 电流\[UpArrow]", 
 FrameStyle -> Directive[Black, 12], 
 PlotLegends -> ("R = " <> ToString[#[[1, 3]]] <> 
      " k\[CapitalOmega]" & /@ multiPointGroups), 
 GridLines -> Automatic, ImageSize -> 400]
constantVoltageData = {{3.0, 3.0, 1}, {3.0, 1.5, 2}, {3.0, 1.3, 
    2.2}, {3.0, 0.8, 3.3}};
TableForm[constantVoltageData, 
 TableHeadings -> {None, {"电压(V)", "电流(mA)", "电阻(k\[CapitalOmega])"}}]
(*绘制实验数据点*)
dataPoints = 
  ListPlot[constantVoltageData[[All, {3, 2}]], 
   PlotStyle -> {Red, PointSize[0.02]}, Frame -> True, 
   FrameLabel -> {"电阻R (k\[CapitalOmega])", "电流I (mA)"}, 
   GridLines -> Automatic, PlotRange -> All];

(*绘制理论函数 I=3.0/R*)
theoreticalPlot = 
  Plot[3.0/r, {r, 0.5, 5}, PlotStyle -> Blue, 
   PlotLegends -> {"I = 3.0/R"}];

(*合并图形*)
Show[theoreticalPlot, dataPoints, 
 PlotLabel -> "函数关系: 电流I = 电压V / 电阻R"]
V = 3.0;
predictedI = V/5  (*输出:0.6 mA*)
Manipulate[
 Plot[V/r, {r, 1, 10}, Frame -> True, 
  FrameLabel -> {"R (k\[CapitalOmega])", "I (mA)"}], {V, 1, 10, 0.1}, 
 Initialization :> (V = 3.0)]
TableForm[Table[{r, 3.0/r}, {r, 1, 5, 0.5}], 
 TableHeadings -> {None, {"R (k\[CapitalOmega])", "I (mA)"}}]

1. 实验测试了多组数据记录
2. 用mathematica进行可视化讲解
3. 用计算器进行一些验证
4. 讨论分析为什么理论和测量的偏差
5. 最后给出V=3的I和R的函数，计算和实验